$\star \star \star $ Questions and Answers $\star \star \star $

Question :
( 1BACSMF2)
Soit $(a,b,c,d) \in \R^{4}$ tel que $a \neq 0 $ et $b \neq 0 $ En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz Montrer que : $$(a-c)^{2}+(b-d)^{2} \geq \frac{(ad-bc)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$$

Réponse :

On prend $\overrightarrow{u}(a,-b)$ et $\overrightarrow{v}(b-d,a-c)$ . $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}| \leq ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| & \Longleftrightarrow |a(b-d)-b(a-c)| \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{(b-d)^{2}+(a-c)^{2}}\\ & \Longleftrightarrow |ab-ad-ba+bc)| \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{(b-d)^{2}+(a-c)^{2}}\\ & \Longleftrightarrow |ad-bc| \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{(b-d)^{2}+(a-c)^{2}} \quad , \quad (|ad-bc|=|-ad+bc|)\\ & \Longleftrightarrow |ad-bc|^{2} \leq (a^{2}+b^{2}) \times [(b-d)^{2}+(a-c)^{2}] \\ & \Longleftrightarrow (a-c)^{2}+(b-d)^{2} \geq \frac{(ad-bc)^{2}}{a^{2}+b^{2}} \quad , \quad (a^{2}+b^{2} >0 ) \end{aligned} $$
Question :
( 1BACSMF2)
Montrer que : $$ \forall x \in \mathbb{R} \;,\; E(2x)=E(x+\frac{1}{2})+E(x)$$

Réponse :

Soit $ x \in \R $ . $$E(x)=k \Longleftrightarrow ( k \in \Z ) \; \texttt{et } \; k \leq x < k+1 $$ $$ k \leq x < k+1 \Longrightarrow k \leq x < k+\frac{1}{2} \; ou \; k +\frac{1}{2} \leq x < k+1 $$
  • $$ \begin{aligned} k \leq x < k+\frac{1}{2} & \Longrightarrow 2k \leq 2x < 2k+1 \; \texttt{et} \; k \leq k+\frac{1}{2} \leq x+\frac{1}{2} < k+1 \\ & \Longrightarrow E(2x)=2k \; et \; E(x+\frac{1}{2})=k \\ & \Longrightarrow E(x+\frac{1}{2})+E(x)= k+k=2k =E(2x) \end{aligned} $$
  • $$ \begin{aligned} k +\frac{1}{2} \leq x < k+1 & \Longrightarrow 2k+1 \leq 2x < 2k+1+1 \; \texttt{et} \; k+1 \leq x+\frac{1}{2} < k+1+\frac{1}{2} < k+1+1 \\ & \Longrightarrow E(2x)=2k+1 \; et \; E(x+\frac{1}{2})=k+1 \\ & \Longrightarrow E(x+\frac{1}{2})+E(x)= k+1+k=2k+1 =E(2x) \end{aligned} $$
Conclusion : $ \forall x \in \R \;,\; E(2x)=E(x+\frac{1}{2})+E(x)$
Question :
( 1BACSMF2)
Montrer qu'il n'existe aucune fonction $f$ définie de $\N$ dans $\N$ vérifiant la condition : $$ \forall (n,m) \in \N^{2} \;,\; (f(n))^{f(m)}=m^{n}$$

Réponse :

Par l'absurde supposons qu'il existe une fonction $f$ définie de $\N$ dans $\N$ vérifiant la condition : $$ \forall (n,m) \in \N^{2} \;,\; (f(n))^{f(m)}=m^{n}$$ $$ \begin{aligned} \forall (n,m) \in \N^{2} \;,\; (f(n))^{f(m)}=m^{n} & \Longrightarrow (f(n))^{f(1)}=1^{n} =1 \;,\;\forall n \in \N \quad \quad (\texttt{prendre} \; m=1) \\ & \Longrightarrow f(n) = 1 \;,\;\forall n \in \N \\ & \Longrightarrow m^{n}= 1^{1} =1 \;,\; \forall (n,m) \in \N^{2} \end{aligned} $$ Ce qui est absurde
Question :
( 1BACSMF2)
Soient $A$ , $B$ et $C$ trois ensembles non vides .
Montrer que : $(A \cap B) \bigtriangleup (A \cap C)=A \cap (B \bigtriangleup C)$

Réponse :

$$ \begin{aligned} (A \cap B) \bigtriangleup (A \cap C) & = [(A \cap B) - (A \cap C)] \cup [(A \cap C) - (A \cap B)] \\ & = [(A \cap B) \cap (\overline{A \cap C})] \cup [(A \cap C) \cap (\overline{A \cap B})] \\ & = [(A \cap B) \cap (\overline{A} \cup \overline{C})] \cup [(A \cap C) \cap (\overline{A} \cup \overline{B})] \\ & =[(A \cap B) \cap \overline{A}] \cup [(A \cap B) \cap \overline{C}] \cup [(A \cap C) \cap \overline{A}] \cup [(A \cap C) \cap \overline{B}] \\ & =[(B \cap A) \cap \overline{A}] \cup [(A \cap B) \cap \overline{C}] \cup [(C \cap A) \cap \overline{A}] \cup [(A \cap C) \cap \overline{B}] \\ & =[B \cap (A \cap \overline{A})] \cup [(A \cap B) \cap \overline{C}] \cup [C \cap (A \cap \overline{A})] \cup [(A \cap C) \cap \overline{B}] \\ & =[\emptyset] \cup [(A \cap B) \cap \overline{C}] \cup [\emptyset] \cup [(A \cap C) \cap \overline{B}] \\ & = [(A \cap B) \cap \overline{C}] \cup [(A \cap C) \cap \overline{B}] \\ & = [A \cap (B \cap \overline{C}) ] \cup [A \cap (C \cap \overline{B}) ] \\ & = A \cap [ (B \cap \overline{C}) \cup (C \cap \overline{B}) ] \\ & = A \cap [ (B -C) \cup (C -B) ] \\ & = A \cap ( B \bigtriangleup C ) \end{aligned} $$
Question :
( 1BACSMF2)
Soit $r$ un nombre réel strictement positif .
Montrer que : $\forall (x,y) \in \R^{2} \; , \; |x+y|+|x-y| \leq 2r \Longleftrightarrow |x| \leq r \; \texttt{et} \; |y| \leq r $

Réponse :

  • Montrons que : $ |x+y|+|x-y| \leq 2r \Longrightarrow |x| \leq r \; \texttt{et} \; |y| \leq r $
    On a :
    • $|2x|=|(x+y)+(x-y)| \leq |x+y|+|x-y| \Longrightarrow 2|x| \leq |x+y|+|x-y| $
    • $|2y|=|(x+y)-(x-y)| \leq |x+y|+|x-y| \Longrightarrow 2|y| \leq |x+y|+|x-y| $
    • Il en découle que : $$ \begin{aligned} |x+y|+|x-y| \leq 2r & \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 2|x| \leq 2r & \\ \hbox{et } & \\ 2|y| \leq 2r & \\ \end{array} \right. \\ & \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} |x| \leq r & \\ \hbox{et } & \\ |y| \leq r & \\ \end{array} \right. \end{aligned} $$
  • Montrons que : $ |x| \leq r \; \texttt{et} \; |y| \leq r \Longrightarrow |x+y|+|x-y| \leq 2r$ $$ \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} |x| \leq r & \\ \hbox{et} & \\ |y| \leq r & \end{array} \right. & \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x \leq r & \\ \hbox{et} & \\ -x \leq r & \\ \hbox{et} & \\ y \leq r & \\ \hbox{et} & \\ -y \leq r & \end{array} \right. \quad, \textsf{car} \quad (x \leq |x|) \;\; \textsf{et} \;\; (-x \leq |x|) \\ & \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} 2x \leq 2r & \\ \hbox{et} & \\ -2x \leq 2r & \\ \hbox{et} & \\ 2y \leq 2r & \\ \hbox{et} & \\ -2y \leq 2r & \end{array} \right. \\ & \Longrightarrow |x+y|+|x-y| \leq 2r \quad , (\textsf{disjonction de cas }) \end{aligned} $$
Question :
( 1BACSMF2)
Soient $A$ , $B$ et $C$ trois ensembles non vides .
Montrer que : $A \bigtriangleup (B \bigtriangleup C)=\left(A \triangle B \right) \triangle C$

Réponse :

On a : $\left(A \triangle B \right) \triangle C$ $$ \begin{aligned} A \bigtriangleup (B \bigtriangleup C) & =[A - (B \bigtriangleup C)]\cup [(B \bigtriangleup C)-A] \\ & = [A \cap (\overline{B \bigtriangleup C})] \cup [(B \bigtriangleup C) \cap \overline{A}] \\ & = [A \cap \overline{(B \cap \overline{C}) \cup (C \cap \overline{B} })] \cup [((B \cap \overline{C}) \cup (C \cap \overline{B})) \cap \overline{A}] \\ & = [A \cap \overline{(B \cap \overline{C})} \cap (\overline{C \cap \overline{B}} )] \cup [(B \cap \overline{C} \cap \overline{A}) \cup (C \cap \overline{B} \cap \overline{A}) ] \\ & = [A \cap (\overline{B} \cup C) \cap (\overline{C} \cup B )] \cup [(B \cap \overline{C} \cap \overline{A}) \cup (C \cap \overline{B} \cap \overline{A}) ] \\ & = [A \cap [(\overline{B} \cap \overline{C}) \cup \emptyset \cup \emptyset \cup (B \cap C)]] \cup [(B \cap \overline{C} \cap \overline{A}) \cup (C \cap \overline{B} \cap \overline{A}) ] \\ & = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (B \cap \overline{C} \cap \overline{A}) \cup (C \cap \overline{B} \cap \overline{A}) \quad (1) \end{aligned} $$ et comme $E \triangle F =(E \cap \overline{F}) \cup (F \cap \overline{E}) = (F \cap \overline{E}) \cup (E \cap \overline{F}) =F \triangle E$ alors : $$ \begin{align} \left(A \triangle B \right) \triangle C &= C \triangle \left(A \triangle B \right) \\ &= .......... (\verb"suivre le même raisonnement que précédemment")\\ &= ..........\\ &= (C \cap \overline{A} \cap \overline{B}) \cup ( C \cap B \cap A) \cup ( A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup ( B \cap \overline{A} \cap \overline{C}) \quad (2) \end{align} $$ $[ (1) \verb"et" (2)] \Longrightarrow \left(A \triangle B \right) \triangle C=\left(A \triangle B \right) \triangle C$
Question :
(Postée par Hajar Chichaoui : 2BACPCF9)
Question $2$ de l'exercice № $3$ (DM01)

Réponse :

Cette question sera traitée en classe Lundi le 23/10/2023
Question :
(1BACSMF2)
Soient $P$ , $Q$ et $R$ trois propositions . Montrer les lois logiques suivantes :
  1. $(P \Longrightarrow Q) \Longrightarrow [( P \; et \; R ) \Longrightarrow ( Q \; et \; R )]$
  2. $(P \Longrightarrow Q) \Longrightarrow [( P \; ou \; R ) \Longrightarrow ( Q \; ou \; R )]$
  3. $[( P \; et \; Q ) \Longrightarrow R ] \Longleftrightarrow [P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)]$
  4. $(P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow [( P \; et \; Q ) \; ou \; (\overline{ P }\; et \; \overline{Q} )] $

Réponse :

  1. $P$$Q$$R$$P \wedge R$$Q \wedge R$$P \Longrightarrow Q$$[( P \; et \; R ) \Longrightarrow ( Q \; et \; R )]$ $(P \Longrightarrow Q) \Longrightarrow [( P \; et \; R ) \Longrightarrow ( Q \; et \; R )]$
    VVVVVVV V
    VVFFFVV V
    VFVVFFF V
    VFFFFFV V
    FVVFVFF V
    FVFFFFV V
    FFVFFVV V
    FFFFFVV V

    On remarque que la formule $(P \Longrightarrow Q) \Longrightarrow [( P \; et \; R ) \Longrightarrow ( Q \; et \; R )]$ est toujours vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions $P$ , $Q$ et $R$
    Donc c'est une loi logique
  2. Utiliser le même raisonnement
  3. $$ \begin{aligned} ( P \; et \; Q ) \Longrightarrow R & \Longleftrightarrow \overline{( P \; et \; Q ) } \; ou \; R\\ & \Longleftrightarrow ( \overline{P} \; ou \; \overline{Q} ) \; ou \; R \\ & \Longleftrightarrow \overline{P} \; ou \; (\overline{Q} \; ou \; R ) \\ & \Longleftrightarrow P \Longrightarrow (\overline{Q} \; ou \; R ) \\ & \Longleftrightarrow P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R ) \\ \end{aligned} $$
  4. $$ \begin{aligned} P \Longleftrightarrow Q & \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow Q) \wedge (Q \Longrightarrow P)\\ & \Longleftrightarrow (\overline{P} \vee Q) \wedge (\overline{Q} \vee P)\\ & \Longleftrightarrow [(\overline{P} \vee Q) \wedge \overline{Q} ] \vee [(\overline{P} \vee Q) \wedge P]\\ & \Longleftrightarrow [\overline{Q} \wedge (\overline{P} \vee Q) ] \vee [ P \wedge (\overline{P} \vee Q) ]\\ & \Longleftrightarrow [(\overline{Q} \wedge \overline{P}) \vee (\overline{Q} \wedge Q) ] \vee [ (P \wedge \overline{P}) \vee (P \wedge Q)) ]\\ & \Longleftrightarrow [(\overline{Q} \wedge \overline{P}) \vee (F) ] \vee [ (F) \vee (P \wedge Q)) ]\\ & \Longleftrightarrow [(\overline{Q} \wedge \overline{P}) ] \vee [ (P \wedge Q)) ]\\ & \Longleftrightarrow [( P \wedge Q ) \vee (\overline{ P } \wedge \overline{Q} )] \end{aligned} $$
Question :
(1BACSMF2)
Soit $(x,y) \in \R^{2}$ . Établir l'équivalence suivante : $$ |x+y| \leq \sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}} \Longleftrightarrow |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |x-y|$$

Réponse :

Soit $(x,y) \in \R^{2}$ .
  1. Si $x \neq y$ et $x \neq -y$ $\;,\;$ l'équivalence est vérifiée car : $ \begin{aligned} |x+y| \leq \sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}} & \Longleftrightarrow |x+y| \leq |\sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}}| \\ & \Longleftrightarrow |x+y| \times |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |\sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}}| \times |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \quad ; \quad ( |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| > 0) \\ & \Longleftrightarrow |x+y| \times |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |(\sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}}) \times (\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}})| \quad ; \quad ( |ab| = |a| \times |b|) \\ & \Longleftrightarrow |x+y| \times |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |x^{2}-y^{2}| \\ & \Longleftrightarrow |x+y| \times |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |x-y| \times |x+y|\\ & \Longleftrightarrow |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |x-y| \quad ; \quad (\frac{1}{|x+y|} > 0) \end{aligned} $
  2. Si $x=y$ , l'équivalence est vérifiée car : $$ \begin{aligned} |x+y| \leq \sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}} & \Longleftrightarrow |2x| \leq 2\sqrt{1+x^{2}} \\ & \Longleftrightarrow |x| \leq \sqrt{1+x^{2}} \end{aligned} $$ Comme la dérnière inégalité est vraie car $$ \begin{aligned} \underbrace{x^{2} \leq 1+x^{2}}_\textrm{vraie} & \Longrightarrow \sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1+x^{2}} \\ & \Longrightarrow |x| \leq \sqrt{1+x^{2}} \end{aligned} $$ par équivalence la première inégalité est vraie aussi
    d' autre part : $$|\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |x-y| \Longleftrightarrow \underbrace{0 \leq 0}_\textrm{vraie} $$
  3. On vérifie aisément que l'équivalence est vérifiée aussi pour $x=-y$
Conclusion : l'équivalence est vérifiée pour tous réels $x$ et $y$
Question :
(1BACSM)
Montrer que : $ [ (\forall x \in \R ) \; : \; a < x \Longrightarrow b < x ] \Longrightarrow (b \leq a ) $

Réponse :

Par l'absurde , on suppose : $ [ (\exists x \in \R ) \; : \; a < x \Longrightarrow b < x ] \; et \; (b > a ) $
En particulier pour $x=b $ on aura : $[a < b \Longrightarrow b < a ] \; et \; (b > a )$ ,
$$ \begin{aligned} & \Longrightarrow [a \geq b \; ou \; b < a ] \; et \; (b > a ) \\ & \Longrightarrow (b > a ) \; et \; [a \geq b \; ou \; b < a ] \\ & \Longrightarrow [(b > a ) \; et \; (a \geq b) ] \; ou \; [(b > a ) \; et \; ( b < a) ] \\ & \Longrightarrow b < b \; ou \; b < b \end{aligned} $$ Ce qui est absurde , donc $$ [ (\forall x \in \R ) \; : \; a < x \Longrightarrow b < x ] \Longrightarrow (b \leq a ) $$

$\star \star \star $ Previous Year Questions $\star \star \star $

$2^{ème} $année du baccalauréat Sciences Expérimentales

Question 1 (Postée par BENBRAHIM FAHD - 2éme BACSP_6 ) :

Soit $j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2i\pi}{3}}$
Calculer la somme :$1+j+j^2+.......+j^{2020}$

Question 2 (Postée par BENBRAHIM FAHD - 2éme BACSP_6 ) :

Question $4).c)$ de l'exercice №1 Session normale 2022
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{ i}+ \overrightarrow{ k})$ , puis en déduire la distance $d(A,(\Delta))$

Question 3 (Postée par BENBRAHIM FAHD - 2éme BACSP_6 ) :

On donne le plan $(ABC): x-y+z=0$ et la sphère $(S) :(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=4$ .
Déterminer les équations des deux plans parallèles au plan $(ABC)$ et tangents à $(S) $

Question 4 (Postée par Invité - 2éme BACSPF- ) :

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{x\ln(1+x^{2})}$ .

  1. Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ qu'on déterminera.
  2. Calculer $f(1)$
  3. Vérifier que la fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $2$ puis calculer $(f^{-1})'(2)$

Question 5 (Postée par El Hassar Zakaria - 2éme BACSPF-2 ) :

Calculer la limite : $\li{x}{0^-} \frac{\ln(1-x^{3})}{x} $

Question 6 (Postée par GOUNDI Hafsa -2BACSPF1 - ) :

Calculer l'intégrale $I=\integrale{0}{1}{\frac{e^{2x}}{1+e^{x}}}{x}$

Question 7 (Postée par El Hassar Zakaria - 2éme BACSPF-2 ) :

  1. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe : $Z_{1}=\frac{3+3i}{-6-2\sqrt{3}i}$ .
  2. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe : $Z_{2}=\Bigg( \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i} \Bigg)^{20}$ .

Première année du baccalauréat sciences mathématiques

Question 8 ( Postée par Lahsini Taha - 1BACSMF2 - ) :

On considère la suite $(w_{n})_{n \in \N }$ définie par : $\begin{cases} { } w_{0} \in [0,1] & \nonumber \\ w_{n+1} = \sqrt{\frac{1+w_{n}}{2}} \quad ,\quad \forall n \in \N & \nonumber \end{cases}$

  1. Montrer que $\forall n \in \N \quad ,\quad 0 \leq w_{n} \leq 1 $
  2. Montrer que $(w_{n})_{n \in \N }$ est croissante .
  3. On suppose que $w_{0} = \cos (\varphi)$ tel que $ \varphi \in \intf{0}{\frac{\pi}{2}}$
    Montrer que $\forall n \in \N \quad,\quad w_{n}= \cos (\frac{\varphi}{2^{n}})$

Question 9 ( Postée par Indar El Mehdi -1BACSMF2 - ) :

Calculer $\Lim{+\infty} \;\; \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}$

Question 10( Postée par Indar El Mehdi -1BACSMF2 - ) :

Montrons par récurrence que : $\forall n \in \N^{*} : \cos(x) \cos(2x) \cos(4x) ...............\cos(2^{n-1} x) = \frac{\sin(2^{n}x)}{2^{n} \sin (x)}$

Question 11( Postée par Indar El Mehdi -1BACSMF2 - ) :

On considère l'application : $ f: \begin{array}[t]{l} \R \to \R \\ \;\; x \, \mapsto f(x)=x^{2}+x-2 \end{array}$
Montrer que $f^{-1} (\intf {-2}{4})=\intf {-3}{-1} \cup \intf {0}{2}$

Question 12( Postée par Indar El Mehdi -1BACSMF2 - ) :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(E) : \sqrt{x}+6=x$

Question 13( Postée par Ismaïl (1BACSM) - ) :

On pose :

  1. Montrer que $A=4B-1$ et que $A=C$
  2. Calculer $B \sin (\frac{\pi}{7})$ puis en déduire les valeurs exactes de $A$ ; $B$ et $C$

Question 14( Postée par Ismaïl (1BACSM) - ) :

Montrer que $\forall n \in \N^{*} \quad,\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}$ .