Espace interactif pour les élèves du cycle secondaire qualifiant.
Calculer la limite : $\li{x}{3} \frac{\sqrt[3]{x+5} + \sqrt{x + 6} - 5}{x - 3}$
$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x + 5} + \sqrt{x + 6} - 5}{x - 3} & = \lim_{x \to 3} \left[ \frac{\sqrt[3]{x + 5} - 2}{x-3} + \frac{\sqrt{x+6} - 3}{x-3} \right] \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[3]{x + 5} - 2}{x-3} + \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6} - 3}{x-3} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{1}{(\sqrt[3]{x + 5})^2 + 2\sqrt[3]{x + 5} + 4} + \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+6} + 3}\\ & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \end{aligned} $$ En effet :
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Soit $j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Calculer la somme : $1+j+j^2+.......+j^{2020}$
Calculer $\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{ i}+ \overrightarrow{ k})$, puis déduire $d(A,(\Delta))$ (Session 2022).
Plans parallèles à $(ABC): x-y+z=0$ et tangents à la sphère $(S)$ : $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=4$.
En utilisant $d(\Omega, P) = R$, on trouve deux plans :
$(P_{1}) : x-y+z+2\sqrt{3}-3 =0$ et $(P_{2}) : x-y+z-2\sqrt{3}-3 =0$.
Soit $f(x)=e^{x\ln(1+x^{2})}$. Étudier la réciproque et calculer $(f^{-1})'(2)$.
$f$ est continue strictement croissante sur $\R$. $J=\into{0}{+\infty}$.
$(f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{2+2\ln 2}$.
Calculer $\li{x}{0^-} \frac{\ln(1-x^{3})}{x}$.
Calculer $I=\integrale{0}{1}{\frac{e^{2x}}{1+e^{x}}}{x}$.
Formes exponentielles de $Z_1=\frac{3+3i}{-6-2\sqrt{3}i}$ et $Z_2=\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i} \right)^{20}$.
Suite $w_{n+1} = \sqrt{\frac{1+w_{n}}{2}}$ avec $w_0 = \cos(\varphi)$. Montrer que $w_n = \cos(\frac{\varphi}{2^n})$.
Par récurrence, en utilisant $\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.
On a bien $w_{n}= \cos (\frac{\varphi}{2^{n}})$.
Calculer $\Lim{+\infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}$.
Montrer par récurrence : $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin(x)}$.
Vrai pour $n=1$. Hérédité utilise la formule $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$.
Image réciproque $f^{-1}([-2,4])$ pour $f(x)=x^2+x-2$.
Résoudre $\sqrt{x}+6=x$.
On pose $\sqrt{x}=X$ ou on élève au carré avec condition $x \ge 6$.
Solution unique : $S=\{9\}$.
Calcul sommes trigonométriques avec $\frac{2\pi}{7}$.
Montrer que $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}$.
Démonstration par récurrence effectuée. La formule est vraie pour tout $n \in \N^*$.
Montrer que $(a-c)^{2}+(b-d)^{2} \geq \frac{(ad-bc)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
Réponse :
Utilisation du produit scalaire et de l'inégalité $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \le \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|$ avec $\vec{u}(a,-b)$.Montrer que $\forall x \in \R, E(2x)=E(x+\frac{1}{2})+E(x)$.
Réponse :
Disjonction de cas : $k \le x < k+0.5$ et $k+0.5 \le x < k+1$. L'égalité est vérifiée dans les deux cas.Il n'existe aucune fonction $f: \N \to \N$ telle que $(f(n))^{f(m)}=m^{n}$.
Réponse :
Par l'absurde, en prenant $m=1$, on trouve $f(n)=1$, ce qui implique $m^n=1$ pour tout $m,n$, ce qui est faux.$(A \cap B) \triangle (A \cap C) = A \cap (B \triangle C)$.
Réponse :
Démonstration par développement des ensembles et distributivité de l'intersection par rapport à la différence symétrique.$|x+y|+|x-y| \leq 2r \Longleftrightarrow |x| \leq r \text{ et } |y| \leq r$.
Réponse :
Utilisation de la relation $\max(|x|,|y|) = \frac{|x+y|+|x-y|}{2}$.$A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C$.
Réponse :
Un élément appartient à la différence symétrique de trois ensembles s'il appartient à un nombre impair de ces ensembles (1 ou 3).Question 2 de l'exercice N°3 (DM01)
Réponse :
Cette question sera traitée en classe Lundi le 23/10/2023Lois logiques (Implication et Équivalence).
Réponse :
Démonstration par tables de vérité ou par équivalences successives.$|x+y| \leq \sqrt{1+x^{2}}+ \sqrt{1+y^{2}} \iff |\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| \leq |x-y|$.
Réponse :
Les deux inégalités sont toujours vraies dans $\R^2$ (par élévation au carré et simplification), donc elles sont équivalentes.$[(\forall x) : a < x \Rightarrow b < x] \Longrightarrow b \leq a$.
Réponse :
Par contraposée : Si $b > a$, on choisit $x = \frac{a+b}{2}$. Alors $a < x$ est vrai mais $b < x$ est faux. L'implication est fausse.