Moulmaths | Fiches de Révision Mathématiques 2BAC_Sciences Expérimentales

1. Définitions

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$. Soit $x \in \R$ et $M$ son image sur le cercle trigo.

$\cos x$ : abscisse de $M$.
$\sin x$ : ordonnée de $M$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ($\cos x \neq 0$).

2. Formules d'Euler & Exponentielle

\boxed{e^{ix} = \cos x + i \sin x}

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$
$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$
$e^{ia} + e^{ib} = 2 \cos(\frac{a-b}{2}) e^{i\frac{a+b}{2}}$
$e^{ia} - e^{ib} = 2i \sin(\frac{a-b}{2}) e^{i\frac{a+b}{2}}$

3. Relations & Périodicité

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\cos(x + 2k\pi) = \cos x$

$\sin(x + 2k\pi) = \sin x$

$\tan(x + k\pi) = \tan x \quad (k \in \Z)$

4. Angles Associés

$\cos(-x) = \cos x$

$\sin(-x) = -\sin x$

$\cos(\pi-x) = -\cos x$

$\sin(\pi-x) = \sin x$

$\cos(\pi+x) = -\cos x$

$\sin(\pi+x) = -\sin x$

$\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$

$\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$

$\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$

$\sin(\frac{\pi}{2}+x) = \cos x$

5. Formules d'Addition

$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$

$\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

6. Somme ? Produit

$\cos p + \cos q = 2\cos(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$

$\cos p - \cos q = -2\sin(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})$

$\sin p + \sin q = 2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$

$\sin p - \sin q = 2\cos(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})$

7. Produit ? Somme

$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$

$\sin a \sin b = -\frac{1}{2}[\cos(a+b) - \cos(a-b)]$

$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

8. Transformation $a \cos x + b \sin x$

Soit $r = \sqrt{a^2+b^2}$.

$a \cos x + b \sin x = r \cos(x - \phi)$

avec $\cos \phi = a/r$ et $\sin \phi = b/r$.

Valeurs Remarquables

QUADRILATبRE

Côtés opposés parallèles 2 à 2

Côtés opposés de même longueur

Diagonales se coupent en leur milieu

PARALLةLOGRAMME

2 côtés consécutifs égaux

Diagonales perpendiculaires

LOSANGE

Un angle droit

Diagonales égales

Un angle droit

Diagonales égales

RECTANGLE

2 côtés consécutifs égaux

Diagonales perpendiculaires

CARRة

I. FORME ALGةBRIQUE

Définition : $z = x + iy$ avec $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et $i^2 = -1$

$x = \text{Re}(z)$ : Partie réelle
$y = \text{Im}(z)$ : Partie imaginaire
$z \in \mathbb{R} \iff y = 0$
$z \in i\mathbb{R} \iff x = 0$
ةgalité : $z = z' \iff \text{Re}(z) = \text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z) = \text{Im}(z')$

II. CONJUGUة ET MODULE

Conjugué : $\overline{z} = x - iy$

$\overline{z+z'} = \overline{z} + \overline{z'}$
$\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$
$z \in \mathbb{R} \iff z = \overline{z}$
$z \in i\mathbb{R} \iff z = -\overline{z}$

Module : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

$|z|^2 = z \times \overline{z}$
$|z \times z'| = |z| \times |z'|$
$|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$
$|z+z'| \leq |z| + |z'|$

III. FORME TRIGONOMةTRIQUE

Pour $z \neq 0$ : $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $\theta = \arg(z)$

$\cos\theta = \frac{x}{|z|}$, $\sin\theta = \frac{y}{|z|}$
$\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$
$\arg(\frac{z}{z'}) \equiv \arg(z) - \arg(z') [2\pi]$
$\arg(z^n) \equiv n\arg(z) [2\pi]$
$\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) [2\pi]$

IV. NOTATION EXPONENTIELLE

$z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$

$e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$
$\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}$
$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
$|e^{i\theta}| = 1$

Formules d'Euler :

\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}

\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

V. GةOMةTRIE DANS LE PLAN COMPLEXE

Outils Fondamentaux

Distance : $AB = |z_B - z_A|$
Milieu : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$
Vecteur : $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$
Angle : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$

Configurations

Alignement : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$
Perpendiculaire : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$
Parallélisme : $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$

Figures Géométriques

Parallélogramme : $z_B - z_A = z_C - z_D$ ou $\frac{z_A + z_C}{2} = \frac{z_B + z_D}{2}$

Triangle équilatéral : $|z_B - z_A| = |z_C - z_A| = |z_C - z_B|$ ou $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\pi/3}$

Triangle rectangle : $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv \pm\frac{\pi}{2} [\pi]$

Cercle : $|z - z_A| = r$, $|z - z_A| = |z - z_B|$

VI. TRANSFORMATIONS

Translation : $z' = z + a$
Homothétie : $z' = z_\Omega + k(z - z_\Omega)$
Rotation : $z' = z_\Omega + e^{i\theta}(z - z_\Omega)$

VII. ةQUATIONS DU SECOND DEGRة

$az^2 + bz + c = 0$ ($a,b,c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$)

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta > 0$ : 2 solutions réelles
$\Delta = 0$ : 1 solution réelle double
$\Delta < 0$ : 2 solutions complexes conjuguées

VIII. FORMULES PRATIQUES

e^{i\theta} + e^{i\theta'} = 2\cos\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}

e^{i\theta} - e^{i\theta'} = 2i\sin\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}

1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}

1 - e^{i\theta} = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}

? Attention : Pas de relation d'ordre sur $\mathbb{C}$ !

I. DةFINITION D'UNE PRIMITIVE

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si :

$F$ est dérivable sur $I$
$\forall x \in I \;,\; F'(x) = f(x)$

II. PROPRIةTةS FONDAMENTALES

Théorème : Soit $f$ définie sur un intervalle $I$.

Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ admet une primitive sur $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toutes les primitives sont de la forme :
$x \longmapsto F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$.
Pour tout $(x_0, y_0) \in I \times \mathbb{R}$, il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$.

III. OPةRATIONS SUR LES PRIMITIVES

Si $F$ est primitive de $f$ et $G$ primitive de $g$ sur $I$ :

$F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$.
Pour tout réel $\lambda$, $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ sur $I$.

IV. PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES

Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$. Voici le tableau des primitives à connaître :

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle $I$
$a \in \mathbb{R}$	$ax + b$	$\mathbb{R}$
$x^n \;(n \in \mathbb{N}^*)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$\mathbb{R}$
$x^n \;(n \in \mathbb{Z}^* \setminus \{-1\})$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$
$\cos(ax+b)\;(a\neq0)$	$\frac{1}{a}\sin(ax+b)+c$	$\mathbb{R}$
$\sin(ax+b)\;(a\neq0)$	$-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+c$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)$	$\tan(x)+c$	$]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[$
$u' \times u^n\;(n\in\mathbb{N}^*)$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$	$I$
$u' \times u^n\;(n\in\mathbb{Z}^* \setminus \{-1\})$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$	$I$ avec $u(x)\neq0$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}+C$	$I$ avec $u(x)>0$

V. PRIMITIVES DE LA FORME $u' \times u^r$ (avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$)

Formule générale

$\displaystyle F = \frac{u^{r+1}}{r+1} + C$

Condition : $u(x) > 0$ sur l'intervalle $I$.

Exemple type

$f(x) = x(x^2-4)^{2024}$ sur $\mathbb{R}$

On pose $u(x)=x^2-4$, alors $u'(x)=2x$ donc $f = \frac{1}{2} u' \times u^{2024}$

$F(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(x^2-4)^{2025}}{2025} + C$

VI. PRIMITIVE DE $\frac{u'}{u}$

Théorème : Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, alors :

$\displaystyle \int \frac{u'(x)}{u(x)} \,dx = \ln\big(|u(x)|\big) + C$

Dérivée correspondante :

$\displaystyle \left[\ln\big(|u(x)|\big)\right]' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

VII. RةSUMة DES TECHNIQUES

Linéarisation : Décomposer la fonction en somme de termes simples.
Identification : Reconnaître la forme $u' \times u^n$ ou $\frac{u'}{u}$.
Fonctions trigonométriques : Utiliser les formules $\sin(ax+b)$ et $\cos(ax+b)$.
Racines : Pour $\sqrt{u}$, penser à $u' \times u^{1/2}$ ou $\frac{u'}{\sqrt{u}}$.

VIII. TABLEAU DES PRIMITIVES COMPOSةES

Forme de $f(x)$	Primitive $F(x)$	Conditions
$u' \times u^n$	$\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\frac{u'}{u^n}$ avec $n>1$	$-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}} + C$	$u(x) \neq 0$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u} + C$	$u(x) > 0$
$u' \times e^u$	$e^u + C$	$I$ quelconque
$\frac{u'}{u}$	$\ln\|u\| + C$	$u(x) \neq 0$

I. LOGARITHME NةPةRIEN (ln)

Définition : $\ln$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ telle que $\ln(1)=0$

Propriétés Fondamentales :

$D_{\ln} = ]0,+\infty[$
$\ln'(x) = \frac{1}{x}$
$\ln(1) = 0$
$\ln$ strictement croissante
$\ln(x) > 0 \iff x > 1$
$\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$

II. PROPRIةTةS ALGةBRIQUES

$\forall a,b > 0, \forall n \in \mathbb{Z}, \forall r \in \mathbb{Q}$ :

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
$\ln(a^n) = n\ln(a)$
$\ln(a^r) = r\ln(a)$

III. ةTUDE DE LA FONCTION ln

Limites essentielles :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

Le nombre e :

$e$ est l'unique solution de $\ln(x) = 1$

$\ln(e) = 1$ et $e \approx 2.71828$

IV. TABLEAU DE VARIATIONS

Tangente en e : $y = \frac{x}{e}$

V. DةRIVةE LOGARITHMIQUE

Théorème : Si $u$ est dérivable sur $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors :

Dérivée

$\left[\ln(|u(x)|)\right]' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Primitive

$\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln(|u(x)|) + C$

VI. LOGARITHME DةCIMAL (log)

Définition : $\log(x) = \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Propriétés :

$\log(10) = 1$
$\log(1) = 0$
$\log(10^n) = n \quad (n \in \mathbb{Z})$
$\log(10^r) = r \quad (r \in \mathbb{Q})$

Applications :

Résoudre $10^x = a \iff x = \log(a)$
Résoudre $10^x \leq a$
Changements de base

VII. LOGARITHME DE BASE a

Pour $a > 0$, $a \neq 1$ : $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

Cas particulier :

$\log_e(x) = \ln(x)$

Propriétés (analogues à ln) :

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$
$\log_a(x^r) = r\log_a(x)$

VIII. ةTUDE DE $f(x) = \log_a(x)$

Cas $a > 1$

$\log'_a(x) = \frac{1}{x\ln a} > 0$

$f$ strictement croissante

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Cas $0 < a < 1$

$\log'_a(x) = \frac{1}{x\ln a} < 0$

$f$ strictement décroissante

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

Définition

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

\[ y = \ln x \Longleftrightarrow x = e^y \]

Avec : $x \in ]0, +\infty[$ et $y \in \mathbb{R}$

Propriétés fondamentales

Domaine : $\mathbb{R}$ Image : $]0, +\infty[$ Bijection : $\mathbb{R} \to ]0, +\infty[$ Valeurs : $e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2,718$ Positivité : $\forall x \in \mathbb{R}, e^x > 0$

Relations avec ln

\[ \begin{aligned} \ln(e^x) &= x, & \forall x \in \mathbb{R} \\ e^{\ln x} &= x, & \forall x \in ]0, +\infty[ \end{aligned} \]

Propriétés algébriques

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ $e^{-b} = \dfrac{1}{e^b}$ $e^{ra} = (e^a)^r$, $r \in \mathbb{Q}$

Propriétés d'ordre :

$e^x = e^y \Longleftrightarrow x = y$
$e^x < e^y \Longleftrightarrow x < y$

Dérivée et variation

\[ (e^x)' = e^x \]

Strictement croissante sur $\mathbb{R}$ Convexe sur $\mathbb{R}$ Continue sur $\mathbb{R}$

Tableau de variations

Limites fondamentales

Limites de base

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$

Croissance comparée

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$

Fonctions composées avec exponentielle

Dérivée de $e^{u(x)}$

\[ \left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \]

Pour $u$ dérivable sur un intervalle $I$.

Variations

$e^u$ a même sens de variation que $u$ $u$ croissante ? $e^u$ croissante $u$ décroissante ? $e^u$ décroissante

Fonction exponentielle de base $a$

Définition

\[ a^x = e^{x \ln a}, \quad a \in \mathbb{R}_+^* - \{1\} \]

Convention : $1^x = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Propriétés algébriques

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ $\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$ $(a^x)^r = a^{rx}$ ($r \in \mathbb{Q}$)

Dérivée

\[ (a^x)' = \ln a \cdot a^x \]

Comparaison selon la base

Cas $a > 1$

• Strictement croissante

• $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$

• $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$

• $a^x < a^y \Leftrightarrow x < y$

Cas $0 < a < 1$

• Strictement décroissante

• $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$

• $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$

• $a^x < a^y \Leftrightarrow x > y$

Premier ordre : $y' = ay + b$
ةquation	Solution générale
$y' = ay + b$	$y(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a}$
$y' = ay$	$y(x) = k e^{ax}$

Second ordre : $y'' + ay' + by = 0$
$\Delta$	Racines	Solution générale
$\Delta > 0$	$r_1, r_2$	$y = \alpha e^{r_1x} + \beta e^{r_2x}$
$\Delta = 0$	$r_0$	$y = (\alpha x + \beta)e^{r_0x}$
$\Delta < 0$	$p \pm iq$	$y = e^{px}[\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx)]$

Cas particulier : $y'' + \omega^2 y = 0$

y(x) = \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)

I. DةFINITION DE L'INTةGRALE

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $(a,b) \in I^2$.

Le nombre réel $F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ est appelé l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$. On note :

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
$a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.
La variable $x$ est muette : $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt$.

II. PROPRIةTةS FONDAMENTALES

$\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0$
$\displaystyle \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
Relation de Chasles : $\forall c \in [a,b] \;,\; \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$
Linéarité : $\forall (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$
$\displaystyle \int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)dx = \alpha\int_a^b f(x)dx + \beta\int_a^b g(x)dx$

III. INTةGRALE ET ORDRE

Positivité
Si $a \le b$ et $f \ge 0$ sur $[a,b]$
$\displaystyle \int_a^b f(x)dx \ge 0$

Croissance
Si $a \le b$ et $f \le g$ sur $[a,b]$
$\displaystyle \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$

Inégalité triangulaire
$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)dx\right| \le \int_a^b |f(x)|dx$

IV. VALEUR MOYENNE

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est :

$\displaystyle \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$

Il existe $\alpha \in [a,b]$ tel que $f(\alpha) = \mu$ (Théorème de la moyenne).

V. INةGALITة DE LA MOYENNE

Si $m = \min_{[a,b]} f$ et $M = \max_{[a,b]} f$, alors :

$\displaystyle m(b-a) \le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a)$

VI. FONCTION INTةGRALE

La fonction $\varphi$ définie sur $[a,b]$ par : $\displaystyle \varphi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ sur $[a,b]$ qui s'annule en $a$.

$\varphi'(x) = f(x)$ et $\varphi(a) = 0$

VII. INTةGRATION PAR PARTIES (IPP)

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ avec $u'$ et $v'$ continues.

$\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

Forme alternative : $\displaystyle \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

VIII. INTERPRةTATION GةOMةTRIQUE - AIRES

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O,I,J)$. L'unité d'aire (u.a) est l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$.

Aire sous une courbe

L'aire du domaine limité par $(\mathcal{C}_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ est :

$\mathcal{A} = \displaystyle \int_a^b |f(x)|\,dx \;\; \text{(u.a)}$

Aire entre deux courbes

L'aire du domaine limité par $(\mathcal{C}_f)$, $(\mathcal{C}_g)$ et les droites $x=a$, $x=b$ est :

$\mathcal{A} = \displaystyle \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx \;\; \text{(u.a)}$

IX. VOLUME D'UN SOLIDE DE RةVOLUTION

L'espace est muni d'un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. L'unité de volume (u.v) est le volume du parallélépipède construit sur $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Formule générale (section planes)

Si $S(t)$ est l'aire de la section du solide par le plan $z=t$, avec $t \in [a,b]$ :

$\displaystyle V = \int_a^b S(t)\,dt \;\; \text{(u.v)}$

Solide de révolution (autour de l'axe Ox)

En faisant tourner $(\mathcal{C}_f)$ autour de l'axe $(O,\vec{i})$ :

$\displaystyle V = \pi \int_a^b \big[f(t)\big]^2 dt \;\; \text{(u.v)}$

X. FORMULAIRE RةCAPITULATIF

Objet	Formule
Intégrale (primitive)	$\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$
Relation de Chasles	$\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$
Linéarité	$\int (\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g$
Intégration par parties	$\int u'v = [uv] - \int uv'$
Inégalité de la moyenne	$m(b-a) \le \int_a^b f \le M(b-a)$
Valeur moyenne	$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$
Aire (sous courbe)	$\mathcal{A} = \int_a^b \|f(x)\|dx$ (u.a)
Aire (entre courbes)	$\mathcal{A} = \int_a^b \|f(x)-g(x)\|dx$ (u.a)
Volume de révolution (Ox)	$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ (u.v)

I. PRODUIT SCALAIRE DANS $\mathcal{V}_3$

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. On choisit un plan contenant leurs représentants.

Le produit scalaire dans l'espace est identique à celui du plan :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Le produit scalaire est indépendant du plan choisi.
Toutes les propriétés du plan restent valables dans l'espace.

II. PROPRIةTةS ALGةBRIQUES

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (symétrie)
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$ (distributivité)
$(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v} = \alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})$
$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\big[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\big]$

III. EXPRESSION ANALYTIQUE (repère orthonormé direct)

Produit scalaire
$\vec{u}(x,y,z)$, $\vec{v}(x',y',z')$
$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz'$

Norme
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$

Orthogonalité
$\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' + zz' = 0$

IV. PLAN : VECTEUR NORMAL & ةQUATION

Définition : $\vec{n}$ est normal à un plan s'il est orthogonal à toute droite du plan.

$\overrightarrow{n}(a,b,c)$ vecteur normal au plan $(\mathscr{P})$
$(\mathscr{P}) : ax + by + cz + d = 0$

Si $A(x_0,y_0,z_0) \in (\mathscr{P})$ :

$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$

V. ENSEMBLE $\vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k$

Soit $\vec{u}(a,b,c) \neq \vec{0}$ et $k \in \mathbb{R}$.

L'ensemble des points $M$ tels que $\vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k$ est un plan d'équation :

$ax + by + cz + d = 0$ avec $d = -ax_0 - by_0 - cz_0 - k$

VI. POSITIONS RELATIVES

Plans

$(\mathscr{P}) \perp (\mathscr{P}') \iff \vec{n}\cdot\vec{n}' = 0$
$(\mathscr{P}) \parallel (\mathscr{P}') \iff \vec{n} \text{ et } \vec{n}' \text{ colinéaires}$
Sinon, ils se coupent selon une droite.

Droite et plan

$(D) \parallel (\mathscr{P}) \iff \vec{n}\cdot\vec{u} = 0$
$(D) \perp (\mathscr{P}) \iff \vec{u} \text{ colinéaire à } \vec{n}$

VII. DISTANCE D'UN POINT ہ UN PLAN

$d\big(A,(\mathscr{P})\big) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

VIII. SPHبRE

Définition : Sphère de centre $\Omega(a,b,c)$ et rayon $R > 0$ :

$S = \{ M \mid \Omega M = R \}$

ةquation cartésienne :

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$

Représentation paramétrique :

$\begin{cases} x = a + R\sin\varphi\cos\theta \\ y = b + R\sin\varphi\sin\theta \\ z = c + R\cos\varphi \end{cases}$

IX. SPHبRE (suite)

Sphère de diamètre [AB] :

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)+(z-z_A)(z-z_B)=0$

Forme développée :

$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$

avec $k = a^2+b^2+c^2-4d$ :

Si $k>0$ : sphère de centre $\Omega(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2})$ et rayon $R=\frac{\sqrt{k}}{2}$
Si $k=0$ : point unique
Si $k<0$ : ensemble vide

X. INTERSECTION SPHبRE/PLAN & SPHبRE/DROITE

Sphère et plan
Soit $d = d(\Omega,(\mathscr{P}))$ :
• $d > R$ ? ط
• $d = R$ ? plan tangent en H
• $d < R$ ? cercle de centre H, rayon $r = \sqrt{R^2-d^2}$

Sphère et droite
Soit $d = d(\Omega,(D))$ :
• $d > R$ ? ط
• $d = R$ ? tangente en H
• $d < R$ ? deux points d'intersection

XI. PRODUIT VECTORIEL - DةFINITION

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$
Sinon, $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est défini par :
- $\vec{w} \perp \vec{u}$ et $\vec{w} \perp \vec{v}$
- $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ base directe
- $\|\vec{w}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$

XII. PROPRIةTةS DU PRODUIT VECTORIEL

$\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}$ (antisymétrique)
$\alpha(\vec{u} \wedge \vec{v}) = (\alpha\vec{u}) \wedge \vec{v} = \vec{u} \wedge (\alpha\vec{v})$
$\vec{u} \wedge (\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\wedge\vec{v} + \vec{u}\wedge\vec{w}$
$(\vec{u}+\vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u}\wedge\vec{w} + \vec{v}\wedge\vec{w}$
Il n'est pas associatif : $\vec{u}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{w}) \neq (\vec{u}\wedge\vec{v})\wedge\vec{w}$

XIII. EXPRESSION ANALYTIQUE (base orthonormée directe)

$\vec{a}(a_1,a_2,a_3)$, $\vec{b}(b_1,b_2,b_3)$

$\vec{a} \wedge \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & a_1 & b_1 \\ \vec{j} & a_2 & b_2 \\ \vec{k} & a_3 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\,\vec{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\,\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\,\vec{k}$

$\vec{a} \wedge \vec{b} = \big( a_2b_3 - a_3b_2,\; a_3b_1 - a_1b_3,\; a_1b_2 - a_2b_1 \big)$

XIV. APPLICATIONS GةOMةTRIQUES

Aire d'un triangle
$\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|$

Aire d'un parallélogramme
$\mathcal{A}_{\text{parallélogramme}} = \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|$

Plan défini par 3 points
$M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM}\cdot(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}) = 0$

Distance point ? droite
$d(M,(D)) = \dfrac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

Intersection de 2 plans
Si $\vec{n} \wedge \vec{n}' \neq \vec{0}$,
$\vec{d} = \vec{n} \wedge \vec{n}'$ est directeur de $(D)=(\mathscr{P})\cap(\mathscr{P}')$

Vecteur normal
$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ est normal au plan $(ABC)$

XV. FORMULAIRE RةCAPITULATIF

Objet	Formule
Produit scalaire	$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$
Norme	$\\|\vec{u}\\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Orthogonalité	$\vec{u}\perp\vec{v} \iff xx'+yy'+zz'=0$
Distance point ? plan	$d(A,(\mathscr{P}))=\dfrac{\|ax_0+by_0+cz_0+d\|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Produit vectoriel	$\vec{a}\wedge\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)$
Aire triangle	$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\\|$
Distance point ? droite	$d(M,(D))=\dfrac{\\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\\|}{\\|\vec{u}\\|}$
Sphère (centre + rayon)	$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$

I. PRINCIPE FONDAMENTAL DU DةNOMBREMENT

Si une situation comporte $k$ étapes indépendantes : $E_1, E_2, \dots, E_k$ et chaque étape $E_i$ s'effectue de $n_i$ manières différentes, alors le nombre total de manières est :

$N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$

II. ARRANGEMENTS

Avec répétition : $n^p$ (p-uplets d'éléments non nécessairement distincts)

Sans répétition :

$A_n^p = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1) = \dfrac{n!}{(n-p)!}$

Permutation : $n! = A_n^n$ (avec $0! = 1$ et $1! = 1$)

Permutation avec répétitions : $\dfrac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_i!}$

III. COMBINAISONS

Une combinaison de $p$ éléments est une partie à $p$ éléments (l'ordre n'intervient pas).

$C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$

Propriétés :

$C_n^p = C_n^{n-p}$
$C_n^{p-1} + C_n^p = C_{n+1}^p$ (Formule de Pascal)
$\displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$

IV. FORMULE DU BINشME DE NEWTON

$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$

En particulier : $\displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$

V. TABLEAU RةCAPITULATIF DES TIRAGES

Type de tirage	Ordre	Nombre de cas
Simultané	N'intervient pas	$C_n^p$
Successifs sans remise	Intervient	$A_n^p$
Successifs avec remise	Intervient	$n^p$

VI. EXPةRIENCE ALةATOIRE

Univers $\Omega$ : ensemble de tous les résultats possibles.
ةvénement : toute partie de $\Omega$.
$\overline{A}$ : événement contraire de $A$.
$A \cap B$ : "A et B"
$A \cup B$ : "A ou B"
$A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$.
$\Omega$ : événement certain ; $\emptyset$ : événement impossible.

VII. PROBABILITة

Une loi de probabilité sur $\Omega = \{\omega_1,\dots,\omega_n\}$ associe à chaque $\omega_i$ un nombre $p_i \in [0,1]$ tel que :

$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i = 1$

Pour tout événement $A$, $p(A)$ est la somme des probabilités des issues qui le composent.

Propriétés :

$p(\emptyset)=0$, $p(\Omega)=1$
$p(A \cup B) = p(A)+p(B)-p(A \cap B)$
$p(\overline{A}) = 1 - p(A)$

VIII. CAS D'ةQUIPROBABILITة

$p(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

IX. PROBABILITة CONDITIONNELLE

Si $p(A) \neq 0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est :

$p(B/A) = p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$

On a aussi : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B/A)$

X. FORMULE DES PROBABILITةS TOTALES

Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de $\Omega$ :

$p(B) = \displaystyle \sum_{i=1}^n p(A_i) \times p(B/A_i)$

Cas particulier ($A$ et $\overline{A}$) :

$p(B) = p(A)p(B/A) + p(\overline{A})p(B/\overline{A})$

XI. INDةPENDANCE DE DEUX ةVةNEMENTS

$A$ et $B$ sont indépendants $\iff p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$

Si $p(A) \neq 0$, cela équivaut à $p(B/A) = p(B)$.

XII. VARIABLE ALةATOIRE

Une variable aléatoire $X$ est une fonction $X : \Omega \to \mathbb{R}$.

La loi de probabilité de $X$ est donnée par :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$p(X=x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

XIII. ESPةRANCE ET VARIANCE

Espérance :

$E(X) = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \, p_i$

Variance :

$V(X) = \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \, p_i = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 p_i\right) - (E(X))^2$

ةcart type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

XIV. LOI BINOMIALE $\mathcal{B}(n,p)$

On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli indépendante (succès avec probabilité $p$, échec avec $q=1-p$).

Soit $X$ = nombre de succès. Alors :

$\forall k \in \{0,1,\dots,n\} \;,\; p(X=k) = C_n^k \, p^k \, (1-p)^{n-k}$

Espérance
$E(X) = np$

Variance
$V(X) = np(1-p)$

XV. FORMULAIRE RةCAPITULATIF

Objet	Formule
Principe fondamental	$N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$
Arrangement sans répétition	$A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}$
Arrangement avec répétition	$n^p$
Combinaison	$C_n^p = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$
Permutation	$n!$
Binôme de Newton	$(a+b)^n = \sum C_n^k a^{n-k}b^k$
Probabilité conditionnelle	$p(B/A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$
Indépendance	$p(A \cap B) = p(A)p(B)$
Espérance (générale)	$E(X) = \sum x_i p_i$
Variance	$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$
Loi binomiale	$p(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
Espérance (binomiale)	$E(X) = np$
Variance (binomiale)	$V(X) = np(1-p)$

10.1 Concavité - Point d'inflexion

Définition

Convexe : Courbe au-dessus des tangentes.
Concave : Courbe au-dessous des tangentes.
Point d'inflexion : Point où la courbe traverse sa tangente (changement de concavité).

Propriété (Dérivée seconde)

$ f''(x) \ge 0 $ sur $ I \implies $ Convexe.
$ f''(x) \le 0 $ sur $ I \implies $ Concave.
$ f'' $ s'annule et change de signe en $ x_0 \implies I(x_0, f(x_0)) $ est un point d'inflexion.

Courbe convexe

Courbe concave

Point d'inflexion

10.2 ةléments de symétrie

Théorème

La droite $ x=a $ est Axe de symétrie si :
$ \forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f $ et $ f(2a-x) = f(x) $.
Le point $ \Omega(a,b) $ est Centre de symétrie si :
$ \forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f $ et $ f(2a-x) = 2b - f(x) $.

10.3 Branches infinies de $ C_f $ et $ C_{f^{-1}} $

Tableau Comparatif

Comparaison des branches infinies entre une fonction $ f $ et sa réciproque $ f^{-1} $.

Limites de $ f $	Branche de $ C_f $	Branche de $ C_{f^{-1}} $	Remarques
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \ell $	A.H. : $ y = \ell $	A.V. : $ x = \ell $	Inversion H / V
$ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty $	A.V. : $ x = a $	A.H. : $ y = a $	Inversion V / H
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 $ ($ a \ne 0 $)	A.O. : $ y = ax + b $	A.O. : $ y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} $	Symétrie par rapport à $ y = x $. Position relative inversée si $ a > 0 $.
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty $	B.P. direction $ (Oy) $	B.P. direction $ (Ox) $	Directions perpendiculaires
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 $	B.P. direction $ (Ox) $	B.P. direction $ (Oy) $	Directions perpendiculaires
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a $ et $ \lim [f(x)-ax] = \infty $	B.P. direction $ y = ax $	B.P. direction $ y = \frac{1}{a}x $	Directions symétriques / $ y=x $

Règles de transformation

A. Horizontale $ y = \ell \implies $ A. Verticale $ x = \ell $
A. Verticale $ x = a \implies $ A. Horizontale $ y = a $
A. Oblique $ y = ax + b \implies $ A. Oblique $ y = \frac{x - b}{a} $
La position relative (courbe/asymptote) s'inverse si $ a > 0 $ et se conserve si $ a < 0 $.

Illustration : Positions relatives

Cas $ a > 0 $ (Inversion)

Asymptote $ y = x $ ($ a=1 > 0 $)
Positions relatives inversées

Cas $ a < 0 $ (Conservation)

Asymptote $ y = ax + b $ ($ a < 0 $)
Positions relatives conservées

Démonstration

Soit $ f(x) = ax + b + \varepsilon(x) $ avec $ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \varepsilon(x) = 0 $.

Si $ C_f $ est en dessous de l'asymptote, alors $ \varepsilon(x) < 0 $.

Pour la réciproque, on montre que l'écart est $ -\frac{\varepsilon(x)}{a} $.

Si $ a > 0 $ : $ -\frac{\varepsilon(x)}{a} > 0 $ $\Longrightarrow$ $ C_{f^{-1}} $ est au-dessus (Inversion).
Si $ a < 0 $ : $ -\frac{\varepsilon(x)}{a} < 0 $ $\Longrightarrow$ $ C_{f^{-1}} $ est en dessous (Conservation).

I. CONTINUITة D'UNE FONCTION

Définition : Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$

$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
$f$ est continue à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
$f$ est continue à gauche en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$
$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$

II. PROPRIةTةS DE LA CONTINUITة

$f$ est continue en $a$ $\iff$ $f$ est continue à droite et à gauche en $a$
Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et $\alpha \in \R$, alors :
- $f+g$, $\alpha f$, $f \times g$ sont continues sur $I$
- Si $\forall x \in I, g(x) \neq 0$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $I$
Si $f$ continue sur $I$, $f(I) \subset J$ et $g$ continue sur $J$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$

III. IMAGE D'UN INTERVALLE

Théorème : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle de $\R$

Cas particulier : Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes :

$f([a,b]) = [m, M]$ où $m = \min\limits_{[a,b]} f$ et $M = \max\limits_{[a,b]} f$

IV. THةORبME DES VALEURS INTERMةDIAIRES

Théorème : Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Alors $\exists c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

L'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.

Cas des fonctions strictement monotones :

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a,b]$.

V. IMAGE D'UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE ET MONOTONE

Remarques importantes :

Par contraposée : si l'image d'un intervalle par une fonction n'est pas un intervalle, alors la fonction n'est pas continue sur l'intervalle de départ.
L'hypothèse "$f$ est continue" est suffisante mais pas nécessaire.

Cas d'une fonction continue et strictement monotone :

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.

$I$	$f$ strictement croissante sur $I$	$f$ strictement décroissante sur $I$
$[a, b]$	$f(I) = [f(a), f(b)]$	$f(I) = [f(b), f(a)]$
$[a, b[$	$f(I) = \left[f(a), \displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x)\right[$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
$]a, b]$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)\right]$	$f(I) = \left[f(b), \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\right[$
$]a, b[$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x), \displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x)\right[$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x), \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\right[$

VI. FONCTION RةCIPROQUE

Définition : Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors :

$f$ admet une fonction réciproque définie sur $J = f(I)$
La fonction réciproque $f^{-1}$ existe et vérifie :

$f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$ (même sens que $f$)
$\forall x \in I, f^{-1}(f(x)) = x$
$\forall y \in J, f(f^{-1}(y)) = y$
Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$

VII. LIEN CONTINUITة-DةRIVABILITة

Théorème :

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$
Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$

Attention : La réciproque est fausse !

Exemple : $f(x) = |x|$ est continue sur $\R$ mais non dérivable en $0$.

VIII. DةRIVةE D'UNE COMPOSةE

Théorème : Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur $J$ avec $f(I) \subset J$.

Alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et :

$\forall x \in I, (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$

IX. DةRIVةE DE LA FONCTION RةCIPROQUE

Théorème : Soit $f$ continue strictement monotone sur $I$ et $x_0 \in I$ , alors:

En un point :

Si $f$ est dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :

$(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$

Sur un intervalle :

Si $f$ est dérivable sur $I$ avec $\forall x \in I, f'(x) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et :

$\forall y \in f(I), (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$

X. FONCTION RACINE n-IبME

Définition : Pour $n \geq 2$, la fonction $x \mapsto x^n$ est une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$.

Sa réciproque est la fonction racine n-ième, notée $\sqrt[n]{\;}$ :

$\begin{cases} x \geq 0 \\ y = x^n \end{cases} \iff \begin{cases} y \geq 0 \\ x = \sqrt[n]{y} \end{cases}$

Propriétés principales :

$(\sqrt[n]{x})^n = \sqrt[n]{x^n} = x$ pour $x \geq 0$
$\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$
$\sqrt[nm]{x} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$
$(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$
$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ pour $y \neq 0$
Si $f$ est continue positive sur $I$ alors:
- $x \longmapsto \sqrt[n]{f(x)}$ est continue sur $I$
- $\lim f(x)=l \implies \lim \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l}$
- $\lim f(x)=+\infty \implies \lim \sqrt[n]{f(x)}=+\infty$
La fonction $f(x) = \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ :
$f'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$
Si $f$ est dérivable et strictement positive, la dérivée de $\sqrt[n]{f}$ est :
$\left(\sqrt[n]{f}\right)' = \frac{f'}{n (\sqrt[n]{f})^{n-1}}$

XI. PUISSANCES RATIONNELLES

Définition : Pour $a > 0$, $p \in \Z^*$, $n \in \N^*$ :

$a^{\frac{p}{n}} = \sqrt[n]{a^p}$

Propriétés : Pour $x, y > 0$ et $r, r' \in \Q$ :

$x^r \times x^{r'} = x^{r+r'}$
$x^r \times y^r = (xy)^r$
$(x^r)^{r'} = x^{rr'}$
$\dfrac{1}{x^r} = x^{-r}$
$\dfrac{x^r}{y^r} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^r$
$\dfrac{x^r}{x^{r'}} = x^{r-r'}$

Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Intervalle \(I\)
\(a \in \mathbb{R}\)	\(ax + b\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n \;(n \in \mathbb{N}^*)\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n \;(n \in \mathbb{Z}^* \setminus \{-1\})\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)	\(]0,+\infty[\) ou \(]-\infty,0[\)
\(\cos(ax+b)\;(a\neq0)\)	\(\frac{1}{a}\sin(ax+b)+c\)	\(\mathbb{R}\)
\(\sin(ax+b)\;(a\neq0)\)	\(-\frac{1}{a}\cos(ax+b)+c\)	\(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x)\)	\(\tan(x)+c\)	\(]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[\)
\(u' \times u^n\;(n\in\mathbb{N}^*)\)	\(\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\)	\(I\)
\(u' \times u^n\;(n\in\mathbb{Z}^* \setminus \{-1\})\)	\(\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\)	\(I\) avec \(u(x)\neq0\)
\(\frac{u'}{\sqrt{u}}\)	\(2\sqrt{u}+C\)	\(I\) avec \(u(x)>0\)

Forme de \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Conditions
\(u' \times u^n\)	\(\frac{u^{n+1}}{n+1} + C\)	\(n \neq -1\)
\(\frac{u'}{u^n}\) avec \(n>1\)	\(-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}} + C\)	\(u(x) \neq 0\)
\(\frac{u'}{\sqrt{u}}\)	\(2\sqrt{u} + C\)	\(u(x) > 0\)
\(u' \times e^u\)	\(e^u + C\)	\(I\) quelconque
\(\frac{u'}{u}\)	\(\ln\|u\| + C\)	\(u(x) \neq 0\)

Limites de \( f \)	Branche de \( C_f \)	Branche de \( C_{f^{-1}} \)	Remarques
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \ell \)	A.H. : \( y = \ell \)	A.V. : \( x = \ell \)	Inversion H / V
\( \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty \)	A.V. : \( x = a \)	A.H. : \( y = a \)	Inversion V / H
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \) (\( a \ne 0 \))	A.O. : \( y = ax + b \)	A.O. : \( y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \)	Symétrie par rapport à \( y = x \). Position relative inversée si \( a > 0 \).
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty \)	B.P. direction \( (Oy) \)	B.P. direction \( (Ox) \)	Directions perpendiculaires
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)	B.P. direction \( (Ox) \)	B.P. direction \( (Oy) \)	Directions perpendiculaires
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \) et \( \lim [f(x)-ax] = \infty \)	B.P. direction \( y = ax \)	B.P. direction \( y = \frac{1}{a}x \)	Directions symétriques / \( y=x \)

Objet	Formule
Intégrale (primitive)	\(\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\)
Relation de Chasles	\(\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\)
Linéarité	\(\int (\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g\)
Intégration par parties	\(\int u'v = [uv] - \int uv'\)
Inégalité de la moyenne	\(m(b-a) \le \int_a^b f \le M(b-a)\)
Valeur moyenne	\(\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\)
Aire (sous courbe)	\(\mathcal{A} = \int_a^b \|f(x)\|dx\) (u.a)
Aire (entre courbes)	\(\mathcal{A} = \int_a^b \|f(x)-g(x)\|dx\) (u.a)
Volume de révolution (Ox)	\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\) (u.v)

Objet	Formule
Produit scalaire	\(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\)
Norme	\(\\|\vec{u}\\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Orthogonalité	\(\vec{u}\perp\vec{v} \iff xx'+yy'+zz'=0\)
Distance point ? plan	\(d(A,(\mathscr{P}))=\dfrac{\|ax_0+by_0+cz_0+d\|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Produit vectoriel	\(\vec{a}\wedge\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)\)
Aire triangle	\(\mathcal{A}=\frac{1}{2}\\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\\|\)
Distance point ? droite	\(d(M,(D))=\dfrac{\\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\\|}{\\|\vec{u}\\|}\)
Sphère (centre + rayon)	\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)

Type de tirage	Ordre	Nombre de cas
Simultané	N'intervient pas	\(C_n^p\)
Successifs sans remise	Intervient	\(A_n^p\)
Successifs avec remise	Intervient	\(n^p\)

Objet	Formule
Principe fondamental	\(N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k\)
Arrangement sans répétition	\(A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}\)
Arrangement avec répétition	\(n^p\)
Combinaison	\(C_n^p = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}\)
Permutation	\(n!\)
Binôme de Newton	\((a+b)^n = \sum C_n^k a^{n-k}b^k\)
Probabilité conditionnelle	\(p(B/A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}\)
Indépendance	\(p(A \cap B) = p(A)p(B)\)
Espérance (générale)	\(E(X) = \sum x_i p_i\)
Variance	\(V(X) = E(X^2) - (E(X))^2\)
Loi binomiale	\(p(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}\)
Espérance (binomiale)	\(E(X) = np\)
Variance (binomiale)	\(V(X) = np(1-p)\)

Formulaire de Trigonométrie

Rappels Essentiels - 2BAC_Sciences Expérimentales

1. Définitions

2. Formules d'Euler & Exponentielle

3. Relations & Périodicité

4. Angles Associés

5. Formules d'Addition

6. Somme ? Produit

7. Produit ? Somme

8. Transformation $a \cos x + b \sin x$

Valeurs Remarquables

Les Quadrilatères Particuliers

Classification et Propriétés

Nombres Complexes

Résumé Complet - 2BAC

I. FORME ALGةBRIQUE

II. CONJUGUة ET MODULE

III. FORME TRIGONOMةTRIQUE

IV. NOTATION EXPONENTIELLE

V. GةOMةTRIE DANS LE PLAN COMPLEXE

Outils Fondamentaux

Configurations

Figures Géométriques

VI. TRANSFORMATIONS

VII. ةQUATIONS DU SECOND DEGRة

VIII. FORMULES PRATIQUES

Fonctions Primitives

Résumé Complet - 2BAC

I. DةFINITION D'UNE PRIMITIVE

II. PROPRIةTةS FONDAMENTALES

III. OPةRATIONS SUR LES PRIMITIVES

IV. PRIMITIVES DES FONCTIONS USUELLES

V. PRIMITIVES DE LA FORME \(u' \times u^r\) (avec \(r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}\))

Formule générale

Exemple type

VI. PRIMITIVE DE \(\frac{u'}{u}\)

VII. RةSUMة DES TECHNIQUES

VIII. TABLEAU DES PRIMITIVES COMPOSةES

Fonctions Logarithmes

Résumé Complet - 2BAC

I. LOGARITHME NةPةRIEN (ln)

II. PROPRIةTةS ALGةBRIQUES

III. ةTUDE DE LA FONCTION ln

IV. TABLEAU DE VARIATIONS

V. DةRIVةE LOGARITHMIQUE

Dérivée

Primitive

VI. LOGARITHME DةCIMAL (log)

VII. LOGARITHME DE BASE a

VIII. ةTUDE DE $f(x) = \log_a(x)$

Cas $a > 1$

Cas $0 < a < 1$

Fonction Exponentielle

Résumé Complet - 2BAC

Définition

Propriétés fondamentales

Relations avec ln

Propriétés algébriques

Dérivée et variation

Tableau de variations

Limites fondamentales

Limites de base

Croissance comparée

Fonctions composées avec exponentielle

Dérivée de \(e^{u(x)}\)

Variations

Fonction exponentielle de base \(a\)

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée

Comparaison selon la base

Cas \(a > 1\)

Cas \(0 < a < 1\)

ةquations Différentielles

Cas particulier : $y'' + \omega^2 y = 0$

Calcul Intégral

Résumé Complet - 2BAC

I. DةFINITION DE L'INTةGRALE

II. PROPRIةTةS FONDAMENTALES

III. INTةGRALE ET ORDRE