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1. Définitions

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$. Soit $x \in \R$ et $M$ son image sur le cercle trigo.

$\cos x$ : abscisse de $M$.
$\sin x$ : ordonnée de $M$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ($\cos x \neq 0$).

2. Formules d'Euler & Exponentielle

$\boxed{e^{ix} = \cos x + i \sin x}$

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$
$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$
$e^{ia} + e^{ib} = 2 \cos(\frac{a-b}{2}) e^{i\frac{a+b}{2}}$
$e^{ia} - e^{ib} = 2i \sin(\frac{a-b}{2}) e^{i\frac{a+b}{2}}$

3. Relations & Périodicité

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\cos(x + 2k\pi) = \cos x$
$\sin(x + 2k\pi) = \sin x$
$\tan(x + k\pi) = \tan x \quad (k \in \Z)$

4. Angles Associés

$\cos(-x) = \cos x$

$\sin(-x) = -\sin x$

$\cos(\pi-x) = -\cos x$

$\sin(\pi-x) = \sin x$

$\cos(\pi+x) = -\cos x$

$\sin(\pi+x) = -\sin x$

$\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$

$\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$

$\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$

$\sin(\frac{\pi}{2}+x) = \cos x$

5. Formules d'Addition

$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$
$\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

7. Somme $\to$ Produit

$\cos p + \cos q = 2\cos(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$
$\cos p - \cos q = -2\sin(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})$
$\sin p + \sin q = 2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$
$\sin p - \sin q = 2\cos(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})$

8. Produit $\to$ Somme

$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$
$\sin a \sin b = -\frac{1}{2}[\cos(a+b) - \cos(a-b)]$
$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

8. Transformation $a \cos x + b \sin x$

Soit $r = \sqrt{a^2+b^2}$.

$a \cos x + b \sin x = r \cos(x - \phi)$

avec $\cos \phi = a/r$ et $\sin \phi = b/r$.

Valeurs Remarquables

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QUADRILATÉRE

Côtés opposés parallèles 2 à 2

Côtés opposés de même longueur

Diagonales se coupent en leur milieu

PARALLÉLOGRAMME

2 côtés consécutifs égaux

Diagonales perpendiculaires

LOSANGE

Un angle droit

Diagonales égales

Un angle droit

Diagonales égales

RECTANGLE

2 côtés consécutifs égaux

Diagonales perpendiculaires

CARRÉ

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I. FORME ALGةBRIQUE

Définition : $z = x + iy$ avec $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et $i^2 = -1$

$x = \text{Re}(z)$ : Partie réelle
$y = \text{Im}(z)$ : Partie imaginaire
$z \in \mathbb{R} \iff y = 0$
$z \in i\mathbb{R} \iff x = 0$ (imaginaire pur)
ةgalité : $z = z' \iff \text{Re}(z) = \text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z) = \text{Im}(z')$

II. CONJUGUة ET MODULE

Conjugué : $\overline{z} = x - iy$

$\overline{z+z'} = \overline{z} + \overline{z'}$
$\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$
$z \in \mathbb{R} \iff z = \overline{z}$
$z \in i\mathbb{R} \iff z = -\overline{z}$

Module : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

$|z|^2 = z \times \overline{z}$
$|z \times z'| = |z| \times |z'|$
$|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ ($z' \neq 0$)
$|z+z'| \leq |z| + |z'|$ (Inégalité triangulaire)

III. FORME TRIGONOMةTRIQUE

Pour $z \neq 0$ : $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $\theta = \arg(z)$

$\cos\theta = \frac{x}{|z|}$, $\sin\theta = \frac{y}{|z|}$
$\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$
$\arg(\frac{z}{z'}) \equiv \arg(z) - \arg(z') [2\pi]$
$\arg(z^n) \equiv n\arg(z) [2\pi]$ ($n \in \mathbb{Z}$)
$\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) [2\pi]$

IV. NOTATION EXPONENTIELLE

$z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$

$e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$
$\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}$
$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
$|e^{i\theta}| = 1$

Formules d'Euler :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

V. GةOMةTRIE DANS LE PLAN COMPLEXE

Outils Fondamentaux

Distance : $AB = |z_B - z_A|$
Milieu : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$
Vecteur : $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$
Angle : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$

Configurations

Alignement : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$
Perpendiculaire : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$
Parallélisme : $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$

Figures Géométriques

Parallélogramme :
$z_B - z_A = z_C - z_D$
ou $\frac{z_A + z_C}{2} = \frac{z_B + z_D}{2}$

Triangle équilatéral :
$|z_B - z_A| = |z_C - z_A| = |z_C - z_B|$
ou $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\pi/3}$

Triangle rectangle :
$\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv \pm\frac{\pi}{2} [\pi]$

Cercle :
$|z - z_A| = r$ (rayon $r$)
$|z - z_A| = |z - z_B|$ (médiatrice)

VI. TRANSFORMATIONS

Translation : $z' = z + a$ ($a \in \mathbb{C}$)
Homothétie : $z' = z_\Omega + k(z - z_\Omega)$ ($k \in \mathbb{R}^*$)
Rotation : $z' = z_\Omega + e^{i\theta}(z - z_\Omega)$

VII. ةQUATIONS DU SECOND DEGRة

$az^2 + bz + c = 0$ ($a,b,c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$)

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta > 0$ : 2 solutions réelles distinctes
$\Delta = 0$ : 1 solution réelle double
$\Delta < 0$ : 2 solutions complexes conjuguées

Racines : $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

VIII. FORMULES PRATIQUES

Factorisation :

$e^{i\theta} + e^{i\theta'} = 2\cos\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}$

$e^{i\theta} - e^{i\theta'} = 2i\sin\left(\frac{\theta-\theta'}{2}\right)e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}}$

Cas particuliers :

$1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

$1 - e^{i\theta} = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

⚠ Attention : Pas de relation d'ordre sur $\mathbb{C}$ !

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I. LOGARITHME NةPةRIEN (ln)

Définition : $\ln$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty[$ telle que $\ln(1)=0$

Propriétés Fondamentales :

$D_{\ln} = ]0,+\infty[$
$\ln'(x) = \frac{1}{x}$
$\ln(1) = 0$
$\ln$ strictement croissante
$\ln(x) > 0 \iff x > 1$
$\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$

II. PROPRIةTةS ALGةBRIQUES

$\forall a,b > 0, \forall n \in \mathbb{Z}, \forall r \in \mathbb{Q}$ :

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
$\ln(a^n) = n\ln(a)$
$\ln(a^r) = r\ln(a)$

III. ةTUDE DE LA FONCTION ln

Limites essentielles :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

Le nombre e :

$e$ est l'unique solution de $\ln(x) = 1$

$\ln(e) = 1$ et $e \approx 2.71828$

IV. TABLEAU DE VARIATIONS

Tangente en e : $y = \frac{x}{e}$

V. DةRIVةE LOGARITHMIQUE

Théorème : Si $u$ est dérivable sur $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors :

Dérivée

$\left[\ln(|u(x)|)\right]' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Primitive

$\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln(|u(x)|) + C$

VI. LOGARITHME DةCIMAL (log)

Définition : $\log(x) = \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$

Propriétés :

$\log(10) = 1$
$\log(1) = 0$
$\log(10^n) = n \quad (n \in \mathbb{Z})$
$\log(10^r) = r \quad (r \in \mathbb{Q})$

Applications :

Résoudre $10^x = a \iff x = \log(a)$
Résoudre $10^x \leq a$
Changements de base

VII. LOGARITHME DE BASE a

Pour $a > 0$, $a \neq 1$ : $\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

Cas particulier :

$\log_e(x) = \ln(x)$

Propriétés (analogues à ln) :

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$
$\log_a(x^r) = r\log_a(x)$

VIII. ةTUDE DE $f(x) = \log_a(x)$

Cas $a > 1$

$\log'_a(x) = \frac{1}{x\ln a} > 0$

$f$ strictement croissante

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Cas $0 < a < 1$

$\log'_a(x) = \frac{1}{x\ln a} < 0$

$f$ strictement décroissante

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

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Définition

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

\[ y = \ln x \Longleftrightarrow x = e^y \]

Avec : $x \in ]0, +\infty[$ et $y \in \mathbb{R}$

Propriétés fondamentales

Domaine : $\mathbb{R}$ Image : $]0, +\infty[$ Bijection : $\mathbb{R} \to ]0, +\infty[$ Valeurs : $e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2,718$ Positivité : $\forall x \in \mathbb{R}, e^x > 0$

Relations avec ln

\[ \begin{aligned} \ln(e^x) &= x, & \forall x \in \mathbb{R} \\ e^{\ln x} &= x, & \forall x \in ]0, +\infty[ \end{aligned} \]

Propriétés algébriques

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$ $e^{-b} = \dfrac{1}{e^b}$ $e^{ra} = (e^a)^r$, $r \in \mathbb{Q}$

Propriétés d'ordre :

$e^x = e^y \Longleftrightarrow x = y$
$e^x < e^y \Longleftrightarrow x < y$

Dérivée et variation

\[ (e^x)' = e^x \]

Strictement croissante sur $\mathbb{R}$ Convexe sur $\mathbb{R}$ Continue sur $\mathbb{R}$

Tableau de variations

Limites fondamentales

Limites de base

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$

Croissance comparée

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$

Fonctions composées avec exponentielle

Dérivée de $e^{u(x)}$

\[ \left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)} \]

Pour $u$ dérivable sur un intervalle $I$.

Variations

$e^u$ a même sens de variation que $u$ $u$ croissante ? $e^u$ croissante $u$ décroissante ? $e^u$ décroissante

Fonction exponentielle de base $a$

Définition

\[ a^x = e^{x \ln a}, \quad a \in \mathbb{R}_+^* - \{1\} \]

Convention : $1^x = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Propriétés algébriques

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ $\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$ $(a^x)^r = a^{rx}$ ($r \in \mathbb{Q}$)

Dérivée

\[ (a^x)' = \ln a \cdot a^x \]

Comparaison selon la base

Cas $a > 1$

• Strictement croissante

• $\Lim{x}{-\infty} a^x = 0$

• $\Lim{x}{+\infty} a^x = +\infty$

• $a^x < a^y \Leftrightarrow x < y$

Cas $0 < a < 1$

• Strictement décroissante

• $\Lim{x}{-\infty} a^x = +\infty$

• $\Lim{x}{+\infty} a^x = 0$

• $a^x < a^y \Leftrightarrow x > y$

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Équation différentielle de premier ordre : $y' = ay + b$
Équation différentielle	La solution générale sur $\mathbb{R}$
$y' = ay + b$ $\quad$ $(a \in \mathbb{R}^*)$	$y(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a}$ $\quad$ $(k \in \mathbb{R})$
$y' = ay$ $\quad$ $(a \in \mathbb{R}^*)$	$y(x) = k e^{ax}$ $\quad$ $(k \in \mathbb{R})$

Équation différentielle de second ordre : $y'' + ay' + by = 0$
Équation	Équation caractéristique	Discriminant $\Delta$ et racines	Solution générale $y(x)$
$ay'' + by' + cy = 0$ $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$	$ar^2 + br + c = 0$ $\Delta = b^2 - 4ac$	$\Delta > 0$ : 2 racines réelles $r_1, r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	$y(x) = \alpha e^{r_1x} + \beta e^{r_2x}$ $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$
		$\Delta = 0$ : 1 racine double $r_0 = -\frac{b}{2a}$	$y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0x}$ $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$
		$\Delta < 0$ : 2 racines complexes $r = p \pm iq$	$y(x) =$ $e^{px}[\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx)]$ $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$

Cas particulier : $y'' + \omega^2 y = 0$

Si $a=1, b=0$ et $c=\omega^2 > 0$ :

$y(x) = \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)$

Conditions Initiales

Pour $(x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{R}^3$, il existe une solution unique $f$ telle que : $f(x_0) = y_0$ et $f'(x_0) = z_0$

Remarque sur $y' = ay + b$

La solution est la somme $y = y_h + y_p$ où $y_h$ est la solution de $y'=ay$ et $y_p = -b/a$ est la solution particulière constante.

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10. Outils pour l'étude des fonctions

10.1 Concavité - Point d'inflexion

Définition

Convexe : Courbe au-dessus des tangentes.
Concave : Courbe au-dessous des tangentes.
Point d'inflexion : Point où la courbe traverse sa tangente (changement de concavité).

Propriété (Dérivée seconde)

$ f''(x) \ge 0 $ sur $ I \implies $ Convexe.
$ f''(x) \le 0 $ sur $ I \implies $ Concave.
$ f'' $ s'annule et change de signe en $ x_0 \implies I(x_0, f(x_0)) $ est un point d'inflexion.

Courbe convexe

Courbe concave

Point d'inflexion

10.2 ةléments de symétrie

Théorème

La droite $ x=a $ est Axe de symétrie si :
$ \forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f $ et $ f(2a-x) = f(x) $.
Le point $ \Omega(a,b) $ est Centre de symétrie si :
$ \forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f $ et $ f(2a-x) = 2b - f(x) $.

10.3 Branches infinies de $ C_f $ et $ C_{f^{-1}} $

Tableau Comparatif

Comparaison des branches infinies entre une fonction $ f $ et sa réciproque $ f^{-1} $.

Limites de $ f $	Branche de $ C_f $	Branche de $ C_{f^{-1}} $	Remarques
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \ell $	A.H. : $ y = \ell $	A.V. : $ x = \ell $	Inversion H / V
$ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty $	A.V. : $ x = a $	A.H. : $ y = a $	Inversion V / H
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 $ ($ a \ne 0 $)	A.O. : $ y = ax + b $	A.O. : $ y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} $	Symétrie par rapport à $ y = x $. Position relative inversée si $ a > 0 $.
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty $	B.P. direction $ (Oy) $	B.P. direction $ (Ox) $	Directions perpendiculaires
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 $	B.P. direction $ (Ox) $	B.P. direction $ (Oy) $	Directions perpendiculaires
$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a $ et $ \lim [f(x)-ax] = \infty $	B.P. direction $ y = ax $	B.P. direction $ y = \frac{1}{a}x $	Directions symétriques / $ y=x $

Règles de transformation

A. Horizontale $ y = \ell \implies $ A. Verticale $ x = \ell $
A. Verticale $ x = a \implies $ A. Horizontale $ y = a $
A. Oblique $ y = ax + b \implies $ A. Oblique $ y = \frac{x - b}{a} $
La position relative (courbe/asymptote) s'inverse si $ a > 0 $ et se conserve si $ a < 0 $.

Illustration : Positions relatives

Cas $ a > 0 $ (Inversion)

Asymptote $ y = x $ ($ a=1 > 0 $)
Positions relatives inversées

Cas $ a < 0 $ (Conservation)

Asymptote $ y = ax + b $ ($ a < 0 $)
Positions relatives conservées

Démonstration

Soit $ f(x) = ax + b + \varepsilon(x) $ avec $ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \varepsilon(x) = 0 $.

Si $ C_f $ est en dessous de l'asymptote, alors $ \varepsilon(x) < 0 $.

Pour la réciproque, on montre que l'écart est $ -\frac{\varepsilon(x)}{a} $.

Si $ a > 0 $ : $ -\frac{\varepsilon(x)}{a} > 0 $ $\Longrightarrow$ $ C_{f^{-1}} $ est au-dessus (Inversion).
Si $ a < 0 $ : $ -\frac{\varepsilon(x)}{a} < 0 $ $\Longrightarrow$ $ C_{f^{-1}} $ est en dessous (Conservation).

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I. CONTINUITة D'UNE FONCTION

Définition : Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$

$f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
$f$ est continue à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$
$f$ est continue à gauche en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$
$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$

II. PROPRIةTةS DE LA CONTINUITة

$f$ est continue en $a$ $\iff$ $f$ est continue à droite et à gauche en $a$
Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et $\alpha \in \R$, alors :
- $f+g$, $\alpha f$, $f \times g$ sont continues sur $I$
- Si $\forall x \in I, g(x) \neq 0$, alors $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $I$
Si $f$ continue sur $I$, $f(I) \subset J$ et $g$ continue sur $J$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$

III. IMAGE D'UN INTERVALLE

Théorème : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle de $\R$

Cas particulier : Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes :

$f([a,b]) = [m, M]$ où $m = \min\limits_{[a,b]} f$ et $M = \max\limits_{[a,b]} f$

IV. THةORبME DES VALEURS INTERMةDIAIRES

Théorème : Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Alors $\exists c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

L'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a,b]$.

Cas des fonctions strictement monotones :

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a,b]$.

V. IMAGE D'UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE ET MONOTONE

Remarques importantes :

Par contraposée : si l'image d'un intervalle par une fonction n'est pas un intervalle, alors la fonction n'est pas continue sur l'intervalle de départ.
L'hypothèse "$f$ est continue" est suffisante mais pas nécessaire.

Cas d'une fonction continue et strictement monotone :

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.

$I$	$f$ strictement croissante sur $I$	$f$ strictement décroissante sur $I$
$[a, b]$	$f(I) = [f(a), f(b)]$	$f(I) = [f(b), f(a)]$
$[a, b[$	$f(I) = \left[f(a), \displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x)\right[$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
$]a, b]$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)\right]$	$f(I) = \left[f(b), \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\right[$
$]a, b[$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x), \displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x)\right[$	$f(I) = \left]\displaystyle\lim_{x \to b^-} f(x), \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\right[$

VI. FONCTION RةCIPROQUE

Définition : Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors :

$f$ admet une fonction réciproque définie sur $J = f(I)$
La fonction réciproque $f^{-1}$ existe et vérifie :

$f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$ (même sens que $f$)
$\forall x \in I, f^{-1}(f(x)) = x$
$\forall y \in J, f(f^{-1}(y)) = y$
Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$

VII. LIEN CONTINUITة-DةRIVABILITة

Théorème :

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$
Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$

Attention : La réciproque est fausse !

Exemple : $f(x) = |x|$ est continue sur $\R$ mais non dérivable en $0$.

VIII. DةRIVةE D'UNE COMPOSةE

Théorème : Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur $J$ avec $f(I) \subset J$.

Alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et :

$\forall x \in I, (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$

IX. DةRIVةE DE LA FONCTION RةCIPROQUE

Théorème : Soit $f$ continue strictement monotone sur $I$ et $x_0 \in I$ , alors:

En un point :

Si $f$ est dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et :

$(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$

Sur un intervalle :

Si $f$ est dérivable sur $I$ avec $\forall x \in I, f'(x) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et :

$\forall y \in f(I), (f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$

X. FONCTION RACINE n-IبME

Définition : Pour $n \geq 2$, la fonction $x \mapsto x^n$ est une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$.

Sa réciproque est la fonction racine n-ième, notée $\sqrt[n]{\;}$ :

$\begin{cases} x \geq 0 \\ y = x^n \end{cases} \iff \begin{cases} y \geq 0 \\ x = \sqrt[n]{y} \end{cases}$

Propriétés principales :

$(\sqrt[n]{x})^n = \sqrt[n]{x^n} = x$ pour $x \geq 0$
$\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$
$\sqrt[nm]{x} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$
$(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$
$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ pour $y \neq 0$
Si $f$ est continue positive sur $I$ alors:
- $x \longmapsto \sqrt[n]{f(x)}$ est continue sur $I$
- $\lim f(x)=l \implies \lim \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{l}$
- $\lim f(x)=+\infty \implies \lim \sqrt[n]{f(x)}=+\infty$
La fonction $f(x) = \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ :
$f'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$
Si $f$ est dérivable et strictement positive, la dérivée de $\sqrt[n]{f}$ est :
$\left(\sqrt[n]{f}\right)' = \frac{f'}{n (\sqrt[n]{f})^{n-1}}$

XI. PUISSANCES RATIONNELLES

Définition : Pour $a > 0$, $p \in \Z^*$, $n \in \N^*$ :

$a^{\frac{p}{n}} = \sqrt[n]{a^p}$

Propriétés : Pour $x, y > 0$ et $r, r' \in \Q$ :

$x^r \times x^{r'} = x^{r+r'}$
$x^r \times y^r = (xy)^r$
$(x^r)^{r'} = x^{rr'}$
$\dfrac{1}{x^r} = x^{-r}$
$\dfrac{x^r}{y^r} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^r$
$\dfrac{x^r}{x^{r'}} = x^{r-r'}$

Limites de \( f \)	Branche de \( C_f \)	Branche de \( C_{f^{-1}} \)	Remarques
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \ell \)	A.H. : \( y = \ell \)	A.V. : \( x = \ell \)	Inversion H / V
\( \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty \)	A.V. : \( x = a \)	A.H. : \( y = a \)	Inversion V / H
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \) (\( a \ne 0 \))	A.O. : \( y = ax + b \)	A.O. : \( y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \)	Symétrie par rapport à \( y = x \). Position relative inversée si \( a > 0 \).
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty \)	B.P. direction \( (Oy) \)	B.P. direction \( (Ox) \)	Directions perpendiculaires
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)	B.P. direction \( (Ox) \)	B.P. direction \( (Oy) \)	Directions perpendiculaires
\( \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \) et \( \lim [f(x)-ax] = \infty \)	B.P. direction \( y = ax \)	B.P. direction \( y = \frac{1}{a}x \)	Directions symétriques / \( y=x \)

1. Définitions

2. Formules d'Euler & Exponentielle

3. Relations & Périodicité

4. Angles Associés

5. Formules d'Addition

7. Somme $\to$ Produit

8. Produit $\to$ Somme

8. Transformation $a \cos x + b \sin x$

Valeurs Remarquables

I. FORME ALGةBRIQUE

II. CONJUGUة ET MODULE

III. FORME TRIGONOMةTRIQUE

IV. NOTATION EXPONENTIELLE

V. GةOMةTRIE DANS LE PLAN COMPLEXE

Outils Fondamentaux

Configurations

Figures Géométriques

VI. TRANSFORMATIONS

VII. ةQUATIONS DU SECOND DEGRة

VIII. FORMULES PRATIQUES

I. LOGARITHME NةPةRIEN (ln)

II. PROPRIةTةS ALGةBRIQUES

III. ةTUDE DE LA FONCTION ln

IV. TABLEAU DE VARIATIONS

V. DةRIVةE LOGARITHMIQUE

Dérivée

Primitive

VI. LOGARITHME DةCIMAL (log)

VII. LOGARITHME DE BASE a

VIII. ةTUDE DE $f(x) = \log_a(x)$

Cas $a > 1$

Cas $0 < a < 1$

Définition

Propriétés fondamentales

Relations avec ln

Propriétés algébriques

Dérivée et variation

Tableau de variations

Limites fondamentales

Limites de base

Croissance comparée

Fonctions composées avec exponentielle

Dérivée de \(e^{u(x)}\)

Variations

Fonction exponentielle de base \(a\)

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée

Comparaison selon la base

Cas \(a > 1\)

Cas \(0 < a < 1\)

Cas particulier : $y'' + \omega^2 y = 0$

Conditions Initiales

Remarque sur $y' = ay + b$

10. Outils pour l'étude des fonctions

10.1 Concavité - Point d'inflexion

Définition

Propriété (Dérivée seconde)

10.2 ةléments de symétrie

Théorème

10.3 Branches infinies de \( C_f \) et \( C_{f^{-1}} \)

Tableau Comparatif

Règles de transformation

Illustration : Positions relatives

Cas \( a > 0 \) (Inversion)

Cas \( a < 0 \) (Conservation)

Démonstration

I. CONTINUITة D'UNE FONCTION

II. PROPRIةTةS DE LA CONTINUITة

III. IMAGE D'UN INTERVALLE

IV. THةORبME DES VALEURS INTERMةDIAIRES

V. IMAGE D'UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE ET MONOTONE

VI. FONCTION RةCIPROQUE

VII. LIEN CONTINUITة-DةRIVABILITة

VIII. DةRIVةE D'UNE COMPOSةE

IX. DةRIVةE DE LA FONCTION RةCIPROQUE

X. FONCTION RACINE n-IبME

XI. PUISSANCES RATIONNELLES